Leunketa esponentzial

Leunketa esponentziala denbora-serieetako datu historikoetan oinarrituta epe laburrerako aurresanak egiteko teknika estatistikoen multzo bat da, jasotako datu historikoetatik abiaturik errepikapenezko formulak erabiltzen dituena, horretarako parametro batzuk finkatu ondoren. Bere bertsio sinpleenean, batezbesteko higikorra besterik ez da baina datu historikoak zenbat atzerago izan orduan eta eta neurri txikiagoan haztatu egiten dituena. Esponentzial adjektiboak datu historikoei denboran atzera joan ahala eta funtzio esponentzialaren arabera gero eta garrantzi edo pisu txikiagoa ematen zaiela adierazten du. Bere abantaila nagusia sinpletasuna da: kalkuluaren aldetik teknika errazak dira, ezarri beharreko parametroak eta eskuratzen diren emaitzak aise interpretatzen dira eta datu kopuru txikiekin ere erabil daiteke. Leunketa esponentziala datu historikoetan bakarrik oinarritzen da eta aurrez ez du datuei buruz inongo eredu estatistikorik ezartzen, denbora serieei aplikatzen zaizkien eredu batzuetarako emaitzak hobezinak direla frogatu bada ere. Bhear bezala aplikatuz gero, emaitzak eta aurresanak fidagarriak direla egiaztatu da.^[1]

Leunketa esponentzialeko teknikak denbora-seriearen izaerara egokitzen dira. Bertsio sinpleenean, leunketa esponentzial sinplea joera eta urtarokotasunik gabeko serieetarako erabiltzen da. Leunketa esponentzialeko teknika konplexuagoak asmatu dira, joera lineal eta ez-lineal kontuan hartu eta urtarokotasuna era batukorrean eta biderkakorrean gaineratzen dutenak, horretarako leunketa anizkoitzak burutuz joera eta urtarokotasun osagaietarako. Leunketa esponentziala epe laburraz haraindi egokiagoa izan dadin, joera moteldu egiten duten parametroak ere barneratu daitezke.

Leunketa esponentzial sinplea

$x_{t}$ t aldiko datu historiko edo erreala eta $s_{t}$ t aldiko leunketaren emaitza izanik, ikertzaileak finkatzen duen $0<\alpha <1$ leunketa parametro baterako, honako hau da leunketa esponentzial sinplearen errepikapen-formula, aurreko leunketa-baliotik leunketa balioak eguneratu edo berritu egiten dituena:

s_{t}=\alpha x_{t}+(1-\alpha )s_{t-1}

Leunketa abiarazten duen s₀ hasierako leunketa-balioa finkatzeko, datu historiko guztien batezbestekoa ^[1]edo serieko lehenengo balioen batezbestekoa^[2] eta serie historikoko lehen balioa ^[3] (aurreragoko adibidean erabiltzen dena) proposatu dira.

Eskubiko adierazpeneko $s_{t-1}$ leunketa-balioetarako formula aplikatuz:

s_{t-1}=\alpha x_{t-1}+(1-\alpha )s_{t-2}

s_{t-2}=\alpha x_{t-2}+(1-\alpha )s_{t-3}

\ldots \ldots \ldots \ldots

eta lehenengo formulan ordeztuz, leunketa-balioetarako formula hau eskuratzen da:

s_{t}=\alpha x_{t}+\alpha (1-\alpha )x_{t-1}+\alpha (1-\alpha )^{2}x_{t-2}+...+\alpha (1-\alpha )^{t-1}x_{1}+\alpha (1-\alpha )^{t}x_{0}

=\alpha \sum _{i=0}^{t-1}{(1-\alpha )^{i}x_{t-i}}+\alpha (1-\alpha )^{t}x_{0}

Era horretan, leunketa esponentziala batezbesteko aritmetiko haztatu moduan agertzen da, non datu historikoei ematen zaizkien haztapenek segida geometriko bati jarraitzen dioten. Segida geometriko bat funtzio esponentzialaren bertsio diskretua delako ematen zaio leunketa esponentzial izena. Ohartzekoa da haztapen-koefiziente horiek gero eta txikiagoak direla, datuetan zenbat eta atzerago joan: datu berriak zaharrak baino neurri handiagoan haztatu edo kontuan hartzen dira.

Aurresanak

Leunketa esponentziala aurresanerako erabiltzen denean, t+1 aldirako ${\hat {x}}_{t+1}$ aurreikuspen moduan t aldiko leunketaren emaitza ezartzen da:

{\hat {x}}_{t+1}=s_{t}

Eskuarki, etorkizuneko aurresanetarako ere kalkulaturiko azken leunketa balioa hartzen da:

{\hat {x}}_{t+k}=s_{t}\ ,\ t=1,2,\ldots

.

Aurreko adierazpen honetatik leunketa esponentziala honela ere adieraz daiteke, aurresana egitean sortzen den errorea erabiliz:

{\hat {x}}_{t+1}=s_{t}=\alpha \cdot x_{t}+(1-\alpha )\cdot s_{t-1}=

=\alpha \cdot x_{t}+(1-\alpha )\cdot {\hat {x}}_{t}=

={\hat {x}}_{t}+\alpha \cdot (x_{t}-{\hat {x}}_{t})=

={\hat {x}}_{t}+\alpha \cdot e_{t}

Horrela, leunketa esponentzialaren arabera hurrengo aldirako aurresana aurreko aurresanean bertan sortutako errorearen zati bat gehituz kalkulatzen da.^[4]

α leunketa parametroaren interpretazioa eta finkapena

α leunketa parametroa [0,1] tarteko balioak hartzen dituen balio bat da, subjektiboki aukeratu edo optimotasun-irizpide bati jarraiki finkatzen dena. Zenbat eta txikiagoa izan, leunketa orduan eta nabarmenagoa da, hau da, joerarik gabeko denbora-serie batek erakuts ditzakeen gorabehera puntualak nabariago leundu eta joera orduan eta era garbiagoan azalaraziko du. Leunketa parametroa handia denean, berriz, leunketaren balioak azken behaketa edo datuen mendean geratzen dira neurri handiago batean eta horrenbestez nabarmenago islatuko dira gorabehera puntualak leunketaren seriean. Adibidez, α>0.9 balioak erabiltzen direnean, leunketa balioek denbora seriea atzerapen txiki batez ia errepikatu besterik ez dute egiten.

Aurresanei dagokienean, α balioa handia denean, erabiltzailea bereziki azken balioetan oinarritzen da bere aurresanak egiteko; α balio txikietarako, aitzitik, serieko balio guztiak modu orekatuago batez hartzen ditu kontuan, leunketa esponentzialean zenbat eta atzerago joan, haztapenak orduan eta txikiagoak direla kontuan harturik betiere. Adibidez, salmenten aurresanak egiteko erabiltzen dituen saltzaile batek, α handia finkatuko du, bereziki azken egunetako salmentei begiratzen badie; atzerago joan eta aspaldiko salmentak ere hartzen baditu kontuan, α txikia finkatu beharko du.

Horrela, α balioa finkatzeko irizpide nagusiak seriearen egonkortasunari erreparatzen dio: seriea egonkorra bada eta aparteko aldaketarik izaten ez badu, α txikia finkatu behar da. Berriz, seriearen parametroak maiz aldatzen badira, egokiagoa izango da α balio handia finkatzea, aldaketei azkar erantzuteko aurresanetan. Balioa noiz den txikia edo handia zehaztearren, α parametroarako gehienetan erabiltzen diren balioak 0.01-0.30 bitartekoak izaten direla aipatu da, 0.1 balioaren inguruko parametroa ohikoa izanik. ^[5]

Irizpide orokor horiek zehaztearren, serieko ex post edo atzerako aurresanetarako doitasun-neurriak erabili dira leunketa-parametroak finkatzeko, hala nola batezbesteko errore koadratikoa,

{\text{BEK}}={\frac {\sum _{t}e_{t}^{2}}{n}}={\frac {\sum _{t}(x_{t}-{\hat {x}}_{t})^{2}}{n}}\,

,

eta batezbesteko errore absolutua

{\text{BEA}}={\frac {\sum _{t}|e_{t}|}{n}}={\frac {\sum _{t}|x_{t}-{\hat {x}}_{t}|}{n}}\,

.

Hala ere, nabarmendu behar da neurri hauek minimotuz eskuratzen diren α parametro balioak ex post aurresanen doitasuna soilik neurtzen dutela eta ondorioz ez dutela ziurtatzen ex ante edo ondorengo aurresanen doitasuna.^[6]^[1]

Beste alde batetik, froga daiteke leunketa esponentziala α=1-d parametroa $S=\sum _{j=0}^{\infty }d^{j+1}(x_{t-j}-s_{t})^{2}$ adierazpena minimotzen duen balioa dela.^[7]

Adibidea

Honako taula honetan serie historiko bateko datuetarako bi leunketa esponentzial, leunketa parametro banarekin, zehazten dira, dagozkien aurresanekin batera. Eskubian, leunketaren abiarazpena eta lehenengo leunketa-balioen eta aurresanen kalkulua azaltzen da:

Denbora ( $t$ )	Serie historikoa ( $x_{t}$ )	$\alpha =0.3$		$\alpha =0.8$
Denbora ( $t$ )	Serie historikoa ( $x_{t}$ )	Leunketa balioak ( $s_{t}$ )	Aurresanak ( ${\hat {x}}_{t}$ )	Leunketa balioak ( $s_{t}$ )	Aurresanak ( ${\hat {x}}_{t}$ )
0	14	14	-	14	-
1	12	13.40	14	12.40	14
2	13	13.28	13.40	12.88	12.40
3	15	13.80	13.28	14.58	12.88
4	14	13.86	13.80	14.12	14.58
5	22	16.30	13.86	20.42	14.12
6	13	15.31	16.30	14.48	20.42
7	14	14.92	15.31	14.10	14.48
8	12	14.04	14.92	12.42	14.10
9 (etorkizuna)	-	-	14.04	-	12.42
10 (etorkizuna)	-	-	14.04	-	12.42
$\cdots$	-	-	14.04	-	12.42

${\text{Abiarazpena:}}\ s_{0}=x_{0}=14$

${\text{Parametroa:}}\ \alpha =0.3$

$s_{1}=\alpha x_{1}+(1-\alpha )s_{0}=0.3\times 12+0.7\times 14=13.40;$

${\hat {x}}_{1}=s_{0}=14$

$s_{2}=\alpha x_{2}+(1-\alpha )s_{1}=0.3\times 13+0.7\times 13.40=13.28;$

${\hat {x}}_{2}=s_{1}=13.40$

$s_{3}=\alpha x_{3}+(1-\alpha )s_{2}=0.3\times 15+0.7\times 13.28=13.80;$

${\hat {x}}_{3}=s_{2}=13.28$

$\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots$

Leunketa moldatzaileak

Oinarrizko formuletan α parametroa konstantea bada ere, serie historikoaren bilakaerara eta aldiro sortutako aurresanen errorera egokitu edo moldatu asmoz parametroaren balioa aldi batetik bestera aldatzen duten leunketa modatzaileak ere proposatu dira. α parametro moldatzaileak ezartzeko irizpideak arrazoizkoak izan arren, leunketa moldatzaileak ez dira beti parametro finkoko leunketak baino hobeak. Areago, kasu batzuetan aurresanetan desegonkortasunak sortzen dituztela egiaztatu da.^[8]

Gehien erabiltzen den leunketa moldatzaileak parametro finkoko leunketaren formulak erabiltzen ditu, baina α parametro finkoaren ordez aldiro aldatzen den α_t parametroa ezarriz:^[9]

\alpha _{t}={\Bigg \vert }{\frac {A_{t}}{M_{t}}}{\Bigg \vert }

A_{t}=\phi e_{t}+(1-\phi )A_{t-1}

M_{t}=\phi |e_{t}|+(1-\phi )M_{t-1}

$\phi$ parametroaren ohiko balioa 0.2 da baina erabiltzaileak beste balio bat finka dezake.

Moldaketak aurresanen erorrearen bilakaera eta horretan sor daitezkeen alborapena edo errore sistematikoa hautematen duten seinaleen jarraipen batean oinarritzen dira gehienetan: arestiko prozeduran $A_{t}$ balioak dira aurresanetan burutzen den errore sistematikoa adierazten dutenak.

Leunketa esponentzialerako metodo estandarrak

Leunketa esponentzial sinplea joerarik gabeko serieetarako erabiltzen da soilik. Horretaz gainera, joera eta urtarokotasuna kontuan hartzen duten leunketa metodoak ere garatu dira. Metodo guztiak bateratzen dituen nomenklatura hau garatu da, leunketak barnehartzen dituen denbora-osagaien eta horien izaeraren arabera:^[10]

Joera osagaia	Urtarokotasuna
Joera osagaia	Ez ((Ingelesez) none)	Batukorra ((Ingelesez) additive)	Biderkakorra ((Ingelesez) multiplicative)
Ez ((Ingelesez) none)	NN	NA	NM
Batukorra ((Ingelesez) additive)	AN	AA	AM
Biderkakorra ((Ingelesez) multiplicative)	MN	MA	MM
Batukor moteldua ((Ingelesez) damped additive)	DAN	DAA	DAM
Biderkakor moteldua ((Ingelesez) damped multiplicative)	DMN	DMA	DMM

Joera batukorra denean, beste denbora osagaiekin duen elkarregintza modu batukorrean gertatzen dela (hau da, balio bat gehituz) esan nahi du. Biderkakorra denean, berriz, elkarregintza hau modu biderkakorrean gertatzen dela esan nahi du (balio bat bidertuz). Joera motelduko leunketa esponentziala joera iraunkorra ez denean eta aurresanak epe laburraz haraindi egiten direnean da egokia. Zehatzago, oraingo unetik aldendu ahala, gaineratzen den joera osagaia aldatzen da, $\phi$ parametro baten arabera: $0<\phi <1$ ezartzen bada, joera osagaia moteltzen doa; $\phi >1$ denean, berriz, joeraren hazkundea esponentziala da. Urtarokotasunaren batukortasuna eta biderkakortasuna era berean interpretatu behar da. Jarraian, metodo bakoitzeko formulak zehazten dira:^[11]

Eredua	Errepikapen-formula	Errepikapen-formula	Aurresanak
NN	$S_{t}=\alpha X_{t}+(1-\alpha )S_{t-1}$	$S_{t}=S_{t-1}+\alpha e_{t}$	${\hat {X}}_{t+k}=S_{t}$
AN^[12]	$S_{t}=\alpha X_{t}+(1-\alpha )(S_{t-1}+T_{t-1})$ $T_{t}=\gamma (S_{t}-S_{t-1})+(1-\gamma )T_{t-1}$	$S_{t}=S_{t-1}+T_{t-1}+\alpha e_{t}$ $T_{t}=T_{t-1}+\alpha \gamma e_{t}$	${\hat {X}}_{t+k}=S_{t}+kT_{t}$
MN^[12]	$S_{t}=\alpha X_{t}+(1-\alpha )(S_{t-1}R_{t-1})$ $R_{t}=\gamma (S_{t}/S_{t-1})+(1-\gamma )R_{t-1}$	$S_{t}=S_{t-1}R_{t-1}+\alpha e_{t}$ $R_{t}=(R_{t-1}+\alpha \gamma e_{t})/S_{t-1}$	${\hat {X}}_{t+k}=S_{t}R_{t}^{k}$
DAN	$S_{t}=\alpha X_{t}+(1-\alpha )(S_{t-1}+\phi T_{t-1})$ $T_{t}=\gamma (S_{t}-S_{t-1})+(1-\gamma )\phi T_{t-1}$	$S_{t}=S_{t-1}+\phi T_{t-1}+\alpha e_{t}$ $T_{t}=\phi T_{t-1}+\alpha \gamma e_{t}$	${\hat {X}}_{t+k}=S_{t}+\sum _{i=1}^{k}\phi ^{i}T_{t}$
DMN	$S_{t}=\alpha X_{t}+(1-\alpha )(S_{t-1}R_{t-1}^{\phi })$ $R_{t}=\gamma (S_{t}/S_{t-1})+(1-\gamma )R_{t-1}^{\phi }$	$S_{t}=S_{t-1}R_{t-1}^{\phi }+\alpha e_{t}$ $R_{t}=(R_{t-1}^{\phi }+\alpha \gamma e_{t})/S_{t-1}$	${\hat {X}}_{t+k}=S_{t}R_{t}^{\sum _{i=1}^{k}\phi ^{i}}$
NA	$S_{t}=\alpha (X_{t}-I_{t-p})+(1-\alpha )S_{t-1}$ $I_{t}=\delta (X_{t}-S_{t})+(1-\delta )I_{t-p}$	$S_{t}=S_{t-1}+\alpha e_{t}$ $I_{t}=I_{t-p}+\delta (1-\alpha )e_{t}$	${\hat {X}}_{t+k}=S_{t}+I_{t-p+k}$
AA	$S_{t}=\alpha (X_{t}-I_{t-p})+(1-\alpha )(S_{t-1}+T_{t-1})$ $T_{t}=\gamma (S_{t}-S_{t-1})+(1-\gamma )T_{t-1}$ $I_{t}=\delta (X_{t}-S_{t})+(1-\delta )I_{t-p}$	$S_{t}=S_{t-1}+T_{t-1}+\alpha e_{t}$ $T_{t}=T_{t-1}+\alpha \gamma e_{t}$ $I_{t}=I_{t-p}+\delta (1-\alpha )e_{t}$	${\hat {X}}_{t+k}=S_{t}+kT_{t}+I_{t-p+k}$
AM	$S_{t}=\alpha {\Bigg (}{\frac {X_{t}}{I_{t-p}}}{\Bigg )}+(1-\alpha )(S_{t-1}+T_{t-1})$ $T_{t}=\gamma (S_{t}-S_{t-1})+(1-\gamma )T_{t-1}$ $I_{t}=\delta {\Bigg (}{\frac {X_{t}}{S_{t}}}{\Bigg )}+(1-\delta )I_{t-p}$	$S_{t}=S_{t-1}+T_{t-1}+{\frac {\alpha e_{t}}{I_{t-p}}}$ $T_{t}=T_{t-1}+{\frac {\alpha \gamma e_{t}}{I_{t-p}}}$ $I_{t}=I_{t-p}+{\frac {\delta (1-\alpha )e_{t}}{S_{t}}}$	${\hat {X}}_{t+k}=(S_{t}+kT_{t})I_{t-p+k}$
NM	$S_{t}=\alpha (X_{t}/I_{t-p})+(1-\alpha )S_{t-1}$ $I_{t}=\delta (X_{t}/S_{t})+(1-\delta )I_{t-p}$	$S_{t}=S_{t-1}+\alpha e_{t}/I_{t-p}$ $I_{t}=I_{t-p}+\delta (1-\alpha )e_{t}/S_{t}$	${\hat {X}}_{t+k}=S_{t}I_{t-p+k}$
MA	$S_{t}=\alpha (X_{t}-I_{t-p})+(1-\alpha )S_{t-1}R_{t-1}$ $I_{t}=\delta (X_{t}-S_{t})+(1-\delta )I_{t-p}$ $R_{t}=\gamma (S_{t}/S_{t-1})+(1-\gamma )R_{t-1}$	$S_{t}=S_{t-1}R_{t-1}+\alpha e_{t}$ $I_{t}=I_{t-p}+\delta (1-\alpha )e_{t}$ $R_{t}=R_{t-1}+\alpha \gamma e_{t}/S_{t-1}$	${\hat {X}}_{t+k}=S_{t}R_{t}^{m}+I_{t-p+k}$

Erreferentziak

↑ ^a ^b ^c (Ingelesez) Gardner, Everette S.. (1985). «Exponential Smoothing: The State of the Art» Journal of Forecasting.
↑ (Ingelesez) Silver, Edward A.; Pyke, David F.; Peterson, Rein. (1998). Inventory Management and Production Planning and Scheduling. , 91 or..
↑ (Ingelesez) Gupta, Surendra. Adaptive Response Rate Exponential Smoothing. , 24 or..
↑ (Ingelesez) Lee, Cheng F.; Lee, John C.; Lee, Alice C.. (2000). Statistics for Business and Financial Economics. , 871 or..
↑ (Ingelesez) Silver, Edward A.; Pyke, David F.; Peterson, Rein. (1998). op. cit.. , 106-107 or..
↑ (Gaztelaniaz) Castro Zuluaga, Carlos A.; Botero Escobar, Sara C.. (2012). Metodología para la selección del parámetro alpha en el modelo de Suavización Exponencial: Un enfoque empírico. .
↑ (Ingelesez) Silver, Edward A.; Pyke, David F.; Peterson, Rein. (1998). op. cit.. , 134 or..
↑ (Ingelesez) Silver, Edward A.; Pyke, David F.; Peterson, Rein. (1998). op. cit.. , 120-121 or..
↑ (Ingelesez) Taylor, James W.. (2004). «Smooth Transition Exponential Smoothing» Journal of Forecasting.
↑ (Ingelesez) Hyndman, Rob J.; Koehler, Anne B.; Snyder, Ralph D.; Grose, Simone. (2002). «A state space framework for automatic forecasting using exponential smoothing methods» International Journal of Forecasting.
↑ Denbora serieari dagokion aldagaia eta horren osagaiak maiuskulaz azaltzen dira, aurreko formuletan ez bezala.
↑ ^a ^b Charles C. Holtek proposatutako eredua da ondorengoa. Robert Goodell Brownen bertsioan parametro bakarra erabiltzen da bi formuletan.

Kanpo estekak

Datuak: Q775837
Multimedia: Exponential smoothing / Q775837

[gardner1985-1] (Ingelesez) Gardner, Everette S.. (1985). «Exponential Smoothing: The State of the Art» Journal of Forecasting.

[2] (Ingelesez) Silver, Edward A.; Pyke, David F.; Peterson, Rein. (1998). Inventory Management and Production Planning and Scheduling. , 91 or..

[3] (Ingelesez) Gupta, Surendra. Adaptive Response Rate Exponential Smoothing. , 24 or..

[4] (Ingelesez) Lee, Cheng F.; Lee, John C.; Lee, Alice C.. (2000). Statistics for Business and Financial Economics. , 871 or..

[5] (Ingelesez) Silver, Edward A.; Pyke, David F.; Peterson, Rein. (1998). op. cit.. , 106-107 or..

[6] (Gaztelaniaz) Castro Zuluaga, Carlos A.; Botero Escobar, Sara C.. (2012). Metodología para la selección del parámetro alpha en el modelo de Suavización Exponencial: Un enfoque empírico. .

[7] (Ingelesez) Silver, Edward A.; Pyke, David F.; Peterson, Rein. (1998). op. cit.. , 134 or..

[8] (Ingelesez) Silver, Edward A.; Pyke, David F.; Peterson, Rein. (1998). op. cit.. , 120-121 or..

[9] (Ingelesez) Taylor, James W.. (2004). «Smooth Transition Exponential Smoothing» Journal of Forecasting.

[10] (Ingelesez) Hyndman, Rob J.; Koehler, Anne B.; Snyder, Ralph D.; Grose, Simone. (2002). «A state space framework for automatic forecasting using exponential smoothing methods» International Journal of Forecasting.

[11] Denbora serieari dagokion aldagaia eta horren osagaiak maiuskulaz azaltzen dira, aurreko formuletan ez bezala.

[brownholt-12] Charles C. Holtek proposatutako eredua da ondorengoa. Robert Goodell Brownen bertsioan parametro bakarra erabiltzen da bi formuletan.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]